Cúbicas irredutíveis

Abstract

Nesta tese vai ser apresentada uma classificação de um conjunto de curvas algébricas planas reais — as cúbicas irredutíveis. Para isso, é feita a caracterização destas curvas, através da identificação de pontos particulares neles contidos, a que chamamos pontos singulares e flexões. Este estudo é feito no plano projectivo real, recorrendo a coordenadas homogéneas, sendo fundamentado na multiplicidade de intersecções entre cúbicas e rectas tangentes em pontos específicos, que nos é dada formalmente pela independência de polinómios. Com a caracterização destas curvas, e recorrendo a resultados que envolvem o determinante da matriz hessiana de uma cúbica, classificamos todas as cúbicas irredutíveis. Com essa finalidade, necessitamos, no entanto, de alguns teoremas importantes, dos quais destacamos o Teorema de Bézout. Juntamente a este estudo, é apresentado um percurso histórico da geometria algébrica, sendo também introduzida uma pequena selecção de curvas algébricas que, pelas suas características, ficaram famosas na história. /*** Abstract - In this thesis, it is presented a classification of a set of real plane algebraic curves — the irreducibles cubics. Bearing this aim, the characterization of these curves is made through the identification of particular points contained in them, that we call singular points and flexes. This study is made in the real projective plane, using homogeneous coordinates, being based on the intersection multiplicities between cubics and tangent lines in specific points that are formally given by the independence of polynomials. By means of the characterization of these curves, and also using some results that involve the determinant of the hessian matrix of a cubic, we classify all the irreducible cubics. For this purpose, however, we need some important theorems of which we emphasize Bézout's Theorem. In addition, we present a brief historical survey of algebraic geometry, and a small selection of algebraic curves that, because of their properties, have become famous in the history of the subject.