O problema da completude nas semânticas intuicionistas

Abstract

Uma interpretação informal da lógica intuicionista foi traduzida nos anos 30 do séc.XX pela semântica Brouwer-Heyting-Kolmogorov, que explicita verdade intuicionista como demonstrabilidade (num sentido intuitivo). Desde então surgiram várias semânticas adequadas (mais ou menos formais) para esta lógica, nomeadamente a semântica de Kripke. Esta semântica reflete uma abordagem em termos de valuações, mais dinâmica do que a clássica. Ao admitir a existência de diferentes estádios de conhecimento (possíveis mundos), os modelos de Kripke permitem interpretar “falso” como “ainda não é verdadeiro”. Sendo uma semântica relativamente simples permite, no entanto, um conjunto diversificado de convenientes aplicações. Contudo, o problema de formalizar a semântica BI-IK e estabelecer a completude da lógica proposicional intuicionista com respeito a esta semântica, ficou em aberto durante décadas. Apresentamos um dos mais recentes avanços nesta matéria: a semântica de Artemov. Demonstramos a completude da sua lógica de demonstrabilidade explícita, LP, que além de fornecer uma resposta ao problema, permite simultaneamente encontrar uma semântica de demonstrabilidade adequada para a lógica modal S4 de Gödel. /ABSTRACT - An intended informal meaning of intuitionistic logic was given in the 1930s by the Brouwer-Heyting-Kohnogorov semantics which understands intuitionistic truth as provability. Since then, a number of (more or less formalized) adequate semantics, such as Kripke’s semantics, appeared for intuitionistic logic. This particular semantics reflects a more dynamic approach then that of classical assignment of truth values to the propositional variables. Admitting various stages of knowledge (possible worlds) Kripke models interpret the value “false” as “not yet true”. It is a fairly simple semantics but it is convenient for its applications. The problem of formalizing the BHK semantics and establishing the completeness of propositional intuitionistic logic with respect to this semantics remained open for decades. We present one of the most recent advances in this area: Artemov's semantics. We establish the completeness of his logic of explicit provability (LP) which provides an answer to the problem and adequate provability semantics for modal logic S4 suggested by Gödel.