Trajectórias de superficies discretas associadas a processos estocásticos com passos infinitésimais

Abstract

Introdução - Nesta dissertação teremos dois objectivos a alcançar. O primeiro objectivo será determinar valor final de lima trajectória qualquer de um processo estocástico Xt, não percorrendo a trajectória como na fórmula de Ito, mas percorrendo dois caminhos em princípio mais simples: a trajectória alternada (mediana) e em seguida um caminho que também se pode chamar alternado, que é transverso ao processo. O segundo objectivo será calcular a esperança de f (Xt), sendo f uma função standard continua definida de R em R e com crescimento polinomial. Poderemos encontrar exemplos relacionados com os nossos objectivos em obras de Nelson, Eric Benoit, Van den Berg, Anderson, Reeb, Marc Diener e Francine Diener. A dissertação é composta por sete capítulos. O capítulo II refere-se às regras de cálculo, onde introduziremos as regras de Leibnitz, estendendo assim a teoria ZFC, à teoria ZFC-1-L. Introduziremos ainda as noções de número infinitésimal, apreciável, limitado e ilimitado. Por fim, resumiremos as regras de cálculo para a adição, multiplicação e potênciação. O capítulo III trata a transição discreta-continua. Estenderemos a teoria ZFC+L, a uma nova teoria axiomática dos conjuntos (IST), onde introduziremos os três principios: Transferência, Idealização e Standardização. Trataremos também a S-continuidade, S-diferenciabilidade S-integrabilidade. Ainda se tratará das aproximações globais onde trataremos as massas e caudas de uma função e as distribuições de probabilidade, onde daremos especial importância ao teorema da Stroboscopia e a um teorema central do limite (Teorema de De Moivre Laplace) não standard. O Passeio Estocástico de Wiener e a Equação de Calor serão estudados no capítulo IV. O passeio estocástico de Wiener é um processo discreto e clássico, pelo que não podemos fazer nenhuma questão sobre a continuidade ou derivabilidade das trajectórias, ou sobre a densidade do processo. Interessamo-nos pelo caso do passeio de Wiener com passos de tempo (logo de espaço) infinitésimais. Com esta hipótese no tamanho das variáveis, provamos alguns resultados, os quais são semelhantes a teoremas clássicos do movimento Browniano. As equações diferenciais estocásticas escrevem-se mediante este movimento, bem como as soluções das equações diferenciais parabólicas, em particular a equação de calor. Neste capítulo iremos utilizar equações de diferenças estocásticas. A ligação entre os dois métodos clássicos é provada pela Análise Não Standard. Assim tiramos vantagens da simplicidade dos conceitos discretos com a simplicidade dos cálculos analíticos. Em particular trataremos o movimento Browniano geométrico, que é um caso de um processo que se diz recombinado. Iremos definir uma superfkie discreta associada a um tal processo. O capítulo V refere-se às trajectórias sobre as superfícies discretas e nós utilizaremos as superfícies discretas para calcular esperanças, assim encontraremos os dois objectivos a alcançar mencionados no início. Note-se uma relação com a matemática financeira; num certo sentido obtivemos uma generalização da fórmula de Black-Scholes para processos subjacentes mais gerais que o movimento Browniano geométrico. Consta no último capítulo uma generalização. Define-se o conceito de processo quase - recombinado, damos exemplos que mostram que há processos estocásticos originados de equações de diferenças estocásticas quase - recombinados, que não são recombinados. Apresentamos uma conclição suficiente para que um processo seja quase - recombinado, em termos das derivadas parciais da média e da variância condicional. Em conclusão mostramos que o método para calcular esperanças do capítulo V, e as fórmulas por ele derivadas, se estendem a esta classe de processos mais geral. Apresentada a estrutura do trabalho, seguem algumas considerações que focam a Análise Não Standard em si mesma, na sua história e na sua integração no Universo da Matemática. A Análise Não Standard foi utilizada por um grande número de Matemáticos e utilizadores das matemáticas. Os novos resultados obtidos por métodos não standard têm sido utilizados nos diversos campos da matemática, nos domínios mais variados, desde a teoria das probabilidades às equações diferenciais, passando pela àlgebra mas também pela física e economia matemática. No entanto, embora a Análise Não Standard tenha mais de quarenta anos é ainda mal conhecida. A Análise Não Standard de Robinson (1961) necessitou de um conhecimento aprofundado da lógica e dos fundamentos da matemática. Contudo, hoje em dia os preliminares da lógica não são mais necessários num curso de Análise Não Standard do que num curso de matemáticas geral, embora a Análise Não Standard aposte de maneira essencial na teoria dos conjuntos, fazendo a distinção dos conjuntos em tipos: standard, internos, externos, halos, galáxias... Muitos pensam que para aprender a Análise Não Standard é preciso pôr em causa os métodos matemáticos conhecidos, abandonar algumas das suas convicções, o que é completamente errado. E conveniente aceitar a ideia que todos os conjuntos infinitos N, R,..., possuem tanto elementos standard como elementos não standard. Intuitivamente os elementos standard são aqueles que podemos definir classicamente de forma única, 1, 2, ~, exp, cos x,... enfim todos aqueles a quem podemos dar um nome, enquanto que os elementos não standard são todos os outros. Esta ideia simples conduz de corrida ao curso de Análise Não Standard, aos conjuntos internos e externos em particular, e é conveniente aprender a manipular com toda a segurança os novos conceitos. A análise não standard é um tema aliciante e um caminho aberto ao desenvolvimento da matemática e do ensino. E importante saber que a prática matemática corrente se pode formalizar em ZFC. Essa prática não vai sofrer qualquer alteração na Matemática Não Standard excepto no sentido de um duplo enriquecimento.