| Abstract: | Primeiro demonstra-se a existência de minimizantes para o integral múltiplo
∫
Ω
ℓ∗∗ ( u (x) , ρ1 (x, u(x))∇u (x) ) ρ2 (x, u(x)) d x on W
1;1
u@
(Ω) ,
onde Ω ⊂ Rd é aberto e limitado, u : Ω → R pertence ao espaço de Sobolev
u@ (·) + W1;1
0 (Ω), u@ (·) ∈ W1;1 (Ω) ∩ C0
(
Ω
)
; ℓ : R×Rd → [0,∞] é superlinear
L⊗B−mensurável, ρ1(·, ·), ρ2(·, ·) ∈ C0 (Ω×R) ambos > 0 e ℓ∗∗(·, ·)
é apenas sci em (·, 0). Também se considera o caso
∫
Ω L∗∗ (x, u(x),∇u(x) ),
embora com hipóteses mais complexas, mas é igualmente possível ter L(x, ·, ξ)
não-sci para ξ ̸= 0;
Por último demonstra-se a existência de minimizantes radialmente
simétricos, i.e. uA(x) = UA ( |x| ), uniformemente contínous para o integral
múltiplo ∫
BR
L∗∗ ( u(x), |Du(x) | ) d x
na bola BR ⊂ Rd, u : Ω → Rm pertence ao espaço de Sobolev A +
W1;1
0 (BR, Rm ), L∗∗ : Rm×R → [0,∞] é convexa, sci e superlinear, L∗∗ ( S, · )
é par; note-se também que enquanto no caso escalar, m = 1, apenas
necessitamos de mais uma hipótese : ∃ min L∗∗ (R, 0 ), no caso vectorial,
m > 1, L∗∗ (·, ·) também tem de satisfazer uma restrição geométrica, a qual
chamamos quasi − escalar; sendo o exemplo mais simples de uma função
quasi − escalar o caso biradial L∗∗ ( | u(x) | , |Du(x) | ); ABSTRACT: First it is proved the existence of minimizers for the multiple integral
∫
Ω
ℓ∗∗ ( u (x) , ρ1 (x, u(x))∇u (x) ) ρ2 (x, u(x)) d x on W
1;1
u@
(Ω) ,
where Ω ⊂ Rd is open bounded, u : Ω → R is in the Sobolev space
u@ (·) + W1;1
0 (Ω), with boundary data u@ (·) ∈ W1;1 (Ω) ∩ C0
(
Ω
)
; and
ℓ : R×Rd → [0,∞] is superlinear L⊗B − measurable with ρ1(·, ·), ρ2(·, ·) ∈
C0 (Ω×R) both > 0 and ℓ∗∗(∫ ·, ·) only has to be lsc at (·, 0). The case
Ω L∗∗ (x, u(x),∇u(x) ) is also treated, though with less natural hypotheses,
but still allowing L(x, ·, ξ) non − lsc for ξ ̸= 0;
Lastly it is proved the existence of uniformly continuous radially
symmetric minimizers uA(x) = UA ( |x| ) for the multiple integral
∫
BR
L∗∗ ( u(x), |Du(x) | ) d x
on a ball BR ⊂ Rd, among the vector Sobolev functions u(·) in A +
W1;1
0 (BR, Rm ), using a convex lsc L∗∗ : Rm×R → [0,∞] with L∗∗ ( S, · )
even and superlinear; but while in the scalar m = 1 case we only need
one more hypothesis : ∃ min L∗∗ (R, 0 ), in the vectorial m > 1 case L∗∗ (·, ·)
also has to satisfy a geometric constraint, which we call quasi − scalar; the
simplest example being the biradial case L∗∗ ( | u(x) | , |Du(x) | ). |
