Higher order boundary value problems on unbounded intervals

Abstract

The relative scarcity of results that guarantee the existence of solutions for BVP on unbounded domains, contrasts with the high applicability on real problems of differential equations defined on the half-line or on the whole real line. It is this gap the main reason that led to this work. The differential equations studied vary from second order to higher orders and they can be discontinuous on time. Different types of boundary conditions will be discussed herein, for example, Sturm- Liouville, homoclinic, Lidstone and functional conditions. The non-compactness of the time interval and the possibility of study unbounded functions will require the redefinition of the admissible Banach spaces. In fact the space considered and the functional framework assumed define the set of admissible solutions for each problem under a main goal: the functions must remain bounded for the space and the norm in consideration. This is achieved by defining some weight functions (polynomial or exponential) in the space or assuming some asymptotic behavior. In addition to the existence, solutions will be localized in a strip. The lower and upper solutions method will play an important role, and combined with other tools like the one-sided Nagumo growth conditions, Green’s functions or Schauder’s fixed point theorem, provide the existence and location results for differential equations with various boundary conditions. Different applications to real phenomena will be presented, most of them translated into classical equations as Duffing, Bernoulli-Eulerv. Karman, Fisher-Kolmogorov, Swift-Hohenberg, Emden-Fowler or Falkner-Skan-type equations. All these applications have a common denominator: they are defined in unbounded intervals and the existing results in the literature are scarce or proven only numerically in discrete problems; RESUMO: Problemas de valor na fronteira de ordem superior em intervalos não limitados A relativa escassez de resultados que garantam a existência de soluções para problemas de valor na fronteira, em domínios ilimitados, contrasta com a alta aplicabilidade em problemas reais de equações diferenciais definidas na semi reta ou em toda a reta real. É esta lacuna o principal motivo que conduziu a este trabalho. As equações diferenciais estudadas variam da segunda ordem a ordens superiores e podem ser descontínuas no tempo. As condições de fronteira aqui analisadas são de diferentes tipos, nomeadamente, Sturm - Liouville, homoclínicas, Lidstone e condições funcionais. A não compacidade do intervalo de tempo e a possibilidade de estudar funções ilimitadas, exigirá a redefinição dos espaços de Banach admissíveis. Na verdade, o espaço considerado e o quadro funcional assumido define o conjunto de soluções admissíveis para cada problema sob um objetivo principal: as funções devem permanecer limitadas para o espaço e norma considerados. Isto é conseguido através da definição de algumas "funções de peso" (polinomiais ou exponenciais) no espaço considerado ou assumindo um comportamento assintótico. Além da existência, as soluções serão localizadas numa faixa. O método da sub e sobre-soluções irá desempenhar aqui um papel importante e, combinado com outras ferramentas como a condição unilateral de Nagumo, as funções de Green ou o teorema de ponto fixo de Schauder, fornecem a existência e localização de soluções para equações diferenciais com diversas condições de fronteira. Apresentam-se também diferentes aplicações a fenómenos reais, a maioria deles traduzidos para equações clássicas como as equações de Duffing, Bernoulli-Euler-v.Karman, Fisher-Kolmogorov, Swift - Hohenberg, Emden-Fowler ou ainda Falkner-Skan. Todas estas aplicações têm um denominador comum: são definidas em intervalos ilimitados e os resultados existentes na literatura são raros ou estão provados apenas numericamente em problemas discretos.