Modelos unidimensionais para fluidos Newtonianos e Newtonianos generalizados

Abstract

Este trabalho de dissertação tem como objectivo o desenvolvimento e estudo de modelos unidimensionais para o escoamento de um fluido com base na teoria de Cosserat, também conhecida pela teoria dos directores. A base desta teoria relativa `a dinâmica dos fluidos ´e semelhante `a que se usa no estudo de vigas em Mecânica dos Sólidos, ver por exemplo os trabalhos [4, 5]. Um modelo tridimensional associado ao escoamento de fluido Newtoniano, ou uma sua generalização onde a viscosidade depende da taxa de cisalhamento, tal dependência do tipo lei de potência, ´e um modelo complexo para estudar em termos de optimização computacional, o que em muitas situações relevantes torna-se inviável. Para simplificar o modelo tridimensional e como alternativa aos modelos clássicos unidimensionais, usaremos a teoria de Cosserat relacionada com a dinâmica dos fluidos para aproximar o campo de velocidades e assim obter um sistema unidimensional constituído por uma equação diferencial ordinária ou parcial, dependendo apenas do tempo e de uma única variável de espaço. A partir deste sistema de redução, obtemos uma equação para o gradiente de pressão média dependendo do caudal volumétrico, número de Womersley e do ´ındice de fluxo no caso de um fluido Newtoniano generalizado, sobre uma secção finita da geometria do domínio em estudo. No nosso trabalho a geometria em estudo vai ser um tubo de secção circular com raio constante e não constante ao longo do escoamento simétrico relativo ao eixo de simetria. A atenção é focada em algumas simulações numéricas para gradiente de pressão média constante e não constante usando um método Runge-Kutta e na análise de fluxos perturbados. Em particular, para certos dados específicos, podemos obter informações sobre o caudal volumétrico e, consequentemente, podemos ilustrar o campo de velocidade tridimensional na secção transversal circular do tubo. Além disso, comparamos a solução exata tridimensional estacionária com a solução unidimensional correspondente obtida pela teoria de Cosserat. Este trabalho de dissertação tem por base os trabalhos [1, 2, 3]; Abstract: One-dimensional Models for Newtonian and Generalized Newtonian Fluids This dissertation work aims to develop and study one-dimensional models for the flow of a fluid based on the Cosserat theory, also known by the theory of directors. The basis of this theory on fluid dynamics is similar to that used in the study of beams in Solid Mechanics, see for example the works [4, 5]. A three-dimensional model associated with the flow of Newtonian fluid, or a generalization where viscosity depends on the shear rate, such dependence on the power law type, is a complex model to study in terms of computational optimization, which in many relevant situations becomes if not viable. To simplify the three-dimensional model and as an alternative to classic one-dimensional models, we will use the Cosserat theory related to fluid dynamics to approximate the velocity field and thus obtain a one-dimensional system consisting of an ordinary or partial differential equation, depending only on time and of a single space variable. From this reduction system, we obtain an equation for the average pressure gradient depending on the volumetric flow, Womersley number and the flow index in the case of a generalized Newtonian fluid, over a finite section of the geometry of the domain under study. In our work the geometry under study will be a tube of circular section with constant and non-constant radius along the symmetrical flow relative to the axis of symmetry. Attention is focused on some numerical simulations for constant and non-constant mean pressure gradient using a Runge-Kutta method and on the analysis of disturbed flows. In particular, for certain specific data, we can obtain information on the volumetric flow and, consequently, we can illustrate the three-dimensional velocity field in the circular cross section of the tube. In addition, we compared the exact stationary three-dimensional solution with the corresponding onedimensional solution obtained by Cosserat’s theory. This dissertation work is based on the works [1, 2, 3].