Modelos e famílias de modelos para matrizes estocásticas simétricas

Abstract

Nesta dissertação desenvolvem-se modelos da forma M μ  E de grau k para matrizes estocásticas simétricas, sendo μ a matriz média e E uma matriz estocástica simétrica, com matriz média nula. Os modelos são desenvolvidos a partir da análise espectral das respetivas matrizes médias μ . O ajustamento e validação do modelo requerem a utilização do vector i k i i i , 1,..., ~ β   γ  , como estimador do vetor de estrutura i k i i i β   α , 1,..., de M, com k  ,..., 1 os valores próprios não nulos e k α ,...,α 1 os respetivos vetores próprios. A informação contida na matriz M pode ser condensada no par , ) ~ (β V , onde V é a soma de quadrados de resíduos. Os resultados obtidos permitem realizar inferência transversal e longitudinal. Na primeira trabalha-se com as componentes homólogas do vetor de estrutura, e na segunda trabalha-se com vetores de contrastes nas componentes desse vetor. O grau do modelo é dado pela característica da matriz média, pelo que o estudo do modelo envolve todos os valores próprios. Para modelos de grau k 1 considera-se ainda a possibilidade de truncar o modelo quando se têm valores próprios k  , , 1  muito superiores aos restantes Uma consequência direta da metodologia adotada é a aplicação dos modelos de grau um a matrizes de produtos cruzados e matrizes de produtos escalares de Hilbert- Schmidt. Estas últimas desempenham um papel importante na primeira fase, a interestrutura, da metodologia STATIS, enquanto que as matrizes de produtos cruzados destacam-se (em particular as matrizes t AA e A A t , que têm os mesmos valores próprios não nulos) pelo seu papel na inferência. Para além destes modelos, também se consideraram os modelos de famílias estruturadas. Os modelos destas famílias estão associados aos tratamentos de um delineamento base. A ação dos fatores que se consideram no delineamento base, sobre os vetores de estrutura é também analisada. Nas famílias estruturadas com delineamento base ortogonal, os delineamentos estão associados a partições j p j m R   1 onde  indica a soma direta de subespaços e as hipóteses formuladas estão associadas aos espaços destas partições. Concluímos com uma aplicação das famílias estruturadas de matrizes de produtos cruzados a dados de melhoramento vegetal, mostrando-se que, existem influências significativas quer do fator ano quer do fator local, relativamente ao comportamento dos cultivares; ABSTRACT: In this work we develope k-degree models of the form M μ  E for symmetric stochastic matrices M, with mean matrix  , and E is a symmetric stochastic matrix with null mean. The models are developed using the spectral analysis of the matrices μ The adjustment and validation of the model requires the usage of the vector i k i i i , 1,..., ~ β   γ  , which an estimator of the structure vector i k i i i β   α , 1,..., of M. With k  ,..., 1 the non-null eingenvalues and k α ,...,α 1 are the eigenvectors , of the matrix M. The information enclosed in matrix M can be cast into a pair , ) ~ (β V , where V is the sum of the squared residuals. With the model results one can carry out transversal and longitudinal inferences. In the latter we work with vectors contrasts in the components of the structure vector, while in the former we work with the homologous components of that vector. As the degree (k) of the model is given by the mean matrix characteristic, and thus the model study involves all k eigenvalues. For the models with a degree k 1, we still consider the possibility of truncating the model, when there are eigenvalues, k  , , 1  much greater than the other myth. A direct consequence of our methodology is that degree-one models can be applied to cross products matrices and Hilbert-Schmidt scalar products matrices. The latter have an important role in the first stage (inter-structure) of STATIS methodology, while the former matrices (in particular the AAt and A A t cross products, which have the same non-null eigenvalues) have an important role in inference. A further development includes structured families models, which are associated to the treatments in a base design. The action of the factors in the base design on the structured vectors of the models in the family is studied. In Structured families with orthogonal base designs, the designs are associated to orthogonal partitions j p j m R   1 , where m is the number of treatments and  indicates orthogonal direct sum of subspaces. The hypotheses for these designs are associated to the spaces in this partition. An application of ours results to experiments of plant breeding is made, showing that there are significant influences of year and local factor, concerning the behavior of the cultivars.