Geometric Conditions of Regularity in Some Kind of Minimal Time Problems

Abstract

The work is devoted to the problem of reaching a closed subset of a Hilbert space in minimal time from a point situated pear the target subject to a constant convex dynamics. Two types of geometric conditions guaranteeing existence and uniqueness of the end point of an optimal trajectory are given. We study the mapping, which associates to each initial state Chis end point, and under some supplementary assumptions prove its Holder continuity outside the target. Then we estabilish the (Holder) continuous dilferentiability of the value function in an open neighbourhood of the target set and give explicit formulas for its derivative. From the same point of view we treat the close problem with a nonlinear Lipschitzean perturbation and obtain some regularity results for viscosity solutions of a kind of Hamilton-Jacobi equations with non trivial boundary data. / RESUMO - O trabalho é dedicado ao problema de se atingir um subconjunto de um espaço de Hilbert em tempo mínimo a partir de um ponto situado próximo do conjunto-alvo cora uma dinâmica convexa constante. São dados dois tipos de condições geométricas que garantem existência e unicidade do ponto final de uma trajectória óptima. Estudamos a aplicação que associa a cada estado inicial esse ponto final, e sob algumas condições suplementares provamos continuidade de Holder da respectiva aplicação fora do conjunto-alvo. Depois mostramos a diferenciabilidade contínua (de Holder) da função valor também numa vizinhança do alvo apresentando fórmulas explicitas para a sua derivada. Do mesmo ponto de vista tratamos o problema com uma perturbação não linear Lipschitzeana e obtemos alguns resultados de regularidade para soluções viscosas de um certo tipo de equações de Hamilton-Jacobi com dados na fronteira não triviais.